«La mitad» parece una respuesta completa, pero falta preguntar: ¿la mitad de qué? Con las fracciones y las proporciones, el error suele empezar antes de la operación. Si identificas el total y la relación que quieres conservar, los números dejan de ser una receta que aplicar de memoria.
1. El total forma parte de la pregunta
En una fracción como 2/3, el denominador indica que dividimos la unidad en tres partes iguales y el numerador que tomamos dos. En este modelo, las partes deben tener el mismo tamaño. Cortar una tira en tres trozos desiguales no convierte cada trozo en un tercio.
La unidad puede ser una longitud, un volumen o una colección de elementos. Una fracción también puede superar la unidad: 5/3 son cinco tercios, es decir, un entero y dos tercios. El denominador no puede ser cero.
Antes de comparar cantidades obtenidas con fracciones, comprueba sus unidades y sus totales. «He usado la mitad» no dice por sí solo quién ha usado más. Para repasar la representación de partes iguales y las fracciones mayores que uno, consulta Visualize Fractions, de OpenStax (en inglés).
2. Cambia el reparto, no el valor
Para obtener una fracción equivalente, multiplica numerador y denominador por el mismo número distinto de cero. Para simplificar una fracción de enteros, divide ambos por un divisor común. No basta con hacerlos más grandes o más pequeños de cualquier manera.
2/3 = (2 × 2)/(3 × 2) = 4/6
Sumar uno a cada término no conserva en general el valor: 2/3 no es 3/4. En cambio, dividir 4 y 6 entre 2 recupera 2/3. La explicación de simplificación de OpenStax desarrolla esta propiedad mediante factores comunes.
Ejercicio 1. ¿Cuál equivale a 2/3: 6/9 o 2/6? Explica qué se ha hecho con los dos términos.
Ver la explicación
6/9: al multiplicar 2 y 3 por 3 obtenemos 6 y 9. En 2/6 solo se ha duplicado el denominador, así que el valor se ha reducido a la mitad: 2/6 = 1/3.
3. Una fracción puede actuar sobre una cantidad
Imagina una colección de 30 tarjetas. Quieres reservar 2/5 para una ronda. Divide primero las 30 tarjetas en cinco grupos iguales: hay seis por grupo. Toma dos de esos grupos: reservas 12 tarjetas. Las otras 18 quedan fuera de la ronda.
2/5 de 30 = (30 ÷ 5) × 2 = 12
Comprobación: 12 de las 30 tarjetas son 12/30, que se simplifica a 2/5. El resultado tiene unidad: 12 tarjetas, no «12 %».
La misma proporción puede escribirse como 2/5 = 0,4 = 40 %. El 40 % no son siempre 12 tarjetas: lo son cuando el total es 30. Para distinguir porcentajes de cantidades y de puntos porcentuales, continúa con la guía de gráficos, porcentajes y promedios.
4. Escala ambas cantidades por el mismo factor
Una proporción expresa que dos razones son iguales. En una relación de proporcionalidad directa, el cociente entre las dos cantidades se mantiene constante. No basta con observar que ambas aumentan: deben hacerlo conservando esa relación.
En este ejemplo de receta, cada ración lleva 50 g de harina y las raciones son todas iguales. Solo estamos escalando ese ingrediente; no afirmamos que el tiempo de cocción crezca del mismo modo.
| Raciones | Harina | Por ración |
|---|---|---|
| 2 | 100 g | 50 g |
| 4 | 200 g | 50 g |
| 6 | 300 g | 50 g |
De dos a cuatro raciones multiplicas por dos y haces lo mismo con la harina. De cuatro a seis, el factor es 6 ÷ 4 = 1,5, no dos. También puedes pasar por una ración: 200 g ÷ 4 = 50 g; después, 50 g × 6 = 300 g.
Es la distinción entre una razón y una cantidad por unidad que trabaja OpenStax en Ratios and Rate. Sus ejemplos de proporciones muestran cómo resolver la igualdad una vez que la relación está justificada.
Ejercicio 2. Si cuatro raciones llevan 200 g, ¿seis raciones llevan 202 g o 300 g, manteniendo la receta?
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300 g. Aumentar dos raciones no significa sumar dos gramos: son unidades distintas. El factor es 6/4 = 1,5 y 200 g × 1,5 = 300 g. Comprueba que 300 g ÷ 6 vuelve a dar 50 g por ración.
5. Que dos cantidades crezcan no demuestra proporcionalidad
Supongamos que preparar una impresora tarda tres minutos y que, después, cada cartel tarda exactamente un minuto. Se prepara una sola vez por encargo. Es un modelo inventado para comparar relaciones, no una medida de una impresora concreta.
| Carteles | Tiempo total |
|---|---|
| 2 | 5 min |
| 4 | 7 min |
| 6 | 9 min |
El tiempo aumenta al añadir carteles, pero duplicar de dos a cuatro no duplica el total de cinco a diez minutos: pasa a siete. La preparación fija rompe la proporcionalidad directa entre carteles y tiempo total. Si contaras únicamente el tiempo de impresión, sin preparación, sí tendrías aquí un minuto por cartel.
Ejercicio 3. Para cuatro carteles, ¿por qué sería incorrecto multiplicar los cinco minutos del encargo de dos carteles por dos?
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Porque duplicarías también los tres minutos de preparación, aunque solo se prepara una vez. El cálculo es 3 + 4 × 1 = 7 minutos. La regla de tres directa no describe este tiempo total.
6. Tres preguntas antes de responder
- ¿Cuál es la unidad o el total? Escríbelo junto a la fracción.
- ¿Qué debe mantenerse? El mismo valor, una cantidad por ración o alguna otra relación.
- ¿Encaja el resultado? Revisa unidades, tamaño y operación inversa.
El quiz combina estas ideas con geometría, probabilidad y lógica: esta guía prepara la parte de fracciones y proporciones, no todas sus preguntas. Cuando te equivoques, vuelve al paso donde se perdió el significado, no solo al último cálculo.
Diagramas, situaciones y ejercicios originales de QuizFaro. Referencias conceptuales: Prealgebra 2e, de OpenStax, enlazadas en los apartados correspondientes. No se reproducen sus gráficos ni sus ejercicios.